Barcelona, paraíso aritmético

En algún post anterior he mencionado el Grup de Teoría de Nombres de Barcelona, al cual pertenezco. Este forma parte de un “metagrupo ” en el que se hacen distintas investigaciones en TN. Entre los otros destacan el grupo de la Universitat Politécnica de Barcelona, que trabaja-entre otras cosas- con representaciones de Galois y extensiones de la conjetura de Serre de Modularidad y el CRM (Centre de Recerca Matemática), hogar adoptivo de decenas de aritmétologos al año, donde se hacen -también entre otras cosas-, teoría Arakelov y Modularidad. A continuación, reproduzco un reportaje publicado en el Periódico de Catalunya sobre los grupos de investigación Cataluña. Puede, por otro lado, sugerir ideas sobre qué aplicaciones tiene la teoría de números.

 
Entrevista: Grupo de Investigación en Teoría de Números de la Universidad de Barcelona (UB). “Los licenciados en matemáticas están infrautilizados por la sociedad”El Grupo de Investigación en Teoría de Números de la Universidad de Barcelona (UB) comenzó sus actividades en la década de los 80. Actualmente está formado a partes iguales por profesorado y por personal en formación de tercer ciclo que, una vez finalizada su tesis doctoral, acceden al mercado laboral. Hablamos con algunos de sus miembros para que nos expliquen más detalles acerca de sus líneas de actuación.
– ¿Cómo fueron los orígenes del Grupo de Investigación en Teoría de Números de la UB? 
– Bernat Plans. Los orígenes de nuestro grupo son los del Seminari de Teoria de Nombres de Barcelona (STNB), un equipo de investigación con reconocimiento internacional. En sus más de 20 años de existencia, el STNB ha experimentado un crecimiento ininterrumpido, llegando a contar en la actualidad con más de 40 investigadores repartidos, principalmente, entre la UB, la UAB y la UPC.
Montserrat AlsinaComo grupo de investigación, es importante su interacción con otros grupos internacionales. Esta interacción ha sido muy cuidada desde los inicios. Así, se realizan continuamente estancias en otras universidades extranjeras, evitando cualquier tipo de aislamiento en pro de la puesta al día del conocimiento y de la investigación en España, tal y como actualmente promueve el plan Bolonia.

¿Qué tipo de relación mantienen con el mundo de la empresa?
– Pilar Bayer: Nuestra empresa es la Universidad y, a través de ella, rendimos cuentas de nuestras actuaciones al Ministerio de Ciencia e Innovación, a la Generalitat de Catalunya y a la Unión Europea. La investigación del grupo se financia a través del Ministerio y de redes europeas. Trabajamos en investigación básica y nuestro objetivo es el estudio de las leyes que rigen el comportamiento de los números. La investigación aplicada representa un paso posterior, que no puede realizarse sin el concurso de personal técnico e informático y de fuertes inversiones. Finalmente, las empresas son las encargadas de revertir los resultados obtenidos a la sociedad. En este sentido, nuestra relación con el mundo empresarial no académico no se realiza de una manera directa, sino a través de múltiples intermediarios. Un aspecto fundamental que debe ser tenido en cuenta es nuestra implicación directa con la difusión del conocimiento matemático. Los matemáticos hacemos una importante labor, tanto a nivel de autoría, publicando nuestros resultados y poniéndolos al alcance de toda la comunidad científica, como de ‘ consultoría, trabajando en calidad de editores, censores (referees) y críticos (reviewers) para revistas especializadas.
-Joan Nualart: En referencia a la incorporación de estudiantes al mercado laboral, ciertas universidades ya cuentan con unidades dedicadas a dar soporte a estudiantes para encontrar trabajo en los tres primeros años posteriores a la finalización de sus estudios.
-¿Cuáles son sus principales líneas de investigación y aplicaciones?
-Núria Vila: Nuestras líneas de investigación están centradas en métodos efectivos.
Trabajamos en investigación básica y nuestro objetivo es el estudio de las leyes que rigen el comportamiento de los números. Los temas que tratamos se insertan en lo que hoy se conoce como Programa de Langlands, de alcance internacional.
-Artur Travesar: La teoría de números es uno de los componentes básicos de las TIC. Una de las aplicaciones más directas de nuestra investigación revierte en criptografía, destinada a salvaguardar la privacidad de las transmisiones, y en teoría de códigos correctores de errores, orientada a salvaguardar su fidelidad. Sin un buen proceso de corrección de errores serían impensables el funcionamiento de la TDT o la simple lectura de un disco compacto.

Maite Aranès: En general, una formación matemática permite acceder a puestos de trabajo relacionados con el mundo de las finanzas, las tecnologías de la información, programación, etc. Un doctorado en matemáticas puede suponer el preludio a una carrera académica o, simplemente, proporcionar la oportunidad de acceder a puestos más especializados del mundo laboral. De hecho, existe una tendencia cada vez mayor a exigir formación de postgrado en áreas complejas como la modelización financiera o la teoría de la información.

-Pilar Bayer: Los resultados obtenidos en nuestro campo son aplicables por científicos (físicos, químicos, biólogos) para lograr una mejor comprensión de las leyes de la naturaleza. Cabe destacar que, a través de acciones integradas hispano-alemanas, parte de nuestra investigación ha sido transferida a empresas internacionales.

-Angela Arenas: El trabajo de investigación del equipo ha dado lugar a un amplio número de publicaciones en revistas y libros de ámbito internacional y de alto nivel puntero en temas de investigación actual en teoría de números. Téngase en cuenta que, por lo relativo a matemáticas, la UB forma parte del grupo de excelencia de los centros de educación superior europeos, habiendo obtenido medalla de oro en cuanto a citaciones y de plata en cuanto a calidad de las publicaciones y autores más citados. Todo ello según el CHE-Excellence Ranking, elaborado en Alemania.

-¿Con qué recursos humanos y técnicos cuentan?    

-Pilar Bayer: El grupo cuenta en la actualidad con una veintena de investigadores, la mitad de los cuales corresponde a profesorado y, el resto, a personal en formación.  -Teresa Crespo: El grupo de investigación es nodo de la red europea GTEM, Teoría de Galois y métodos explícitos, formada por investigadores de 12 universidades europeas que desarrollan un programa común de investigación y formación de investigadores financiado por la Comisión Europea. Maite AranèsLa red europea GTEM está en contacto con diversas empresas y compañías relacionadas con el mundo de las TIC.
-Núria Vila: También en el curso académico 2009-2010 se inicia en la Facultad de Matemáticas de la UB la implantación de los nuevos estudios de grado en Matemáticas e Ingeniería Informática, así como las dobles titulaciones de Matemáticas y Física y de Matemáticas e Ingeniería Informática. Estos estudios de grado abren nuevas posibilidades en cuanto a movilidad de los estudiantes en el ámbito europeo y a interacciones con el mundo laboral.

-Dionís Remón: Vale decir que, hasta ahora, la mayoría de estudiantes que terminan la carrera de matemáticas trabajan como consultores, informáticos o profesores de instituto. En muchos casos, los licenciados en matemáticas están infrautilizados por la sociedad.

-¿Cuáles son sus proyectos de futuro más inmediatos? 
– Pilar Bayer: En este curso académico la teoría de números va a tener en Barcelona un protagonismo especial, puesto que a lo largo de todo el año se desarrollará en el Centre de Recerca Matemàtica (CRM).
MIEMBROS DEL EQUIPO
Profesorado: Montserrat Alsina (UPC), Ángela Arenas (UB), Pilar Bayer (UB), Teresa Crespo (UB), Luis Dieulefait (UB), Zbigniew Hajto (Jagiellonian University, Cracovia, Polonia), Bernat Plans (UPC), Artur Travesa (UB) y Núria Vila(UB).

Personal en formación: Maite Aranès (UB y Universidad de Warwick, Reino Unido), Sara Arias de Reyna (UB y Institut für Experimentelle Mathematik, Essen, Alemania), Paloma Bengoechea (UB y Universidad Pierre et Marie Curie, Paris, Francia), Iván Blanco (UB, UCM, Institut for Advanced Study, Park City Mathematics Institut, New Jersey, USA), Alberto Cámara (UB y Universidad de Nottingham, Reino Unido), Florian Heiderich (UB), Joan Nualart (UB e Imperial College London, Reino Unido) y Dionís Remón (UB).

MÁS INFORMACIÓN
Facultad de Matemáticas de la Universitat de Barcelona, Gran Via de les Corts
Catalanes, 585-08007 Barcelona
http://atlas.mat.ub.es/TN/

 
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Números p-ádicos e Imágenes digitales.

Supongo que una manera de definir el análisis p-ádico es como la rama de las matemáticas que recibe menos financiación. O eso dicen. Bromas aparte, esta disciplina es el cálculo de toda la vida, pero hecho sobre los números p-ádicos. Estos fueron introducidos por Hensel para estudiar ciertas ecuaciones diofánticas (esto es, polinomiales a coeficientes enteros) pero su estudio trasciende la teoría de números y además de servir como una buena lista de curiosidades topológicas y rarezas de análisis funcional, se les ha encontrado aplicaciones en ramas tan dispares como el procesamiento de imégenes, la teoría de códigos o la teoría de cuerdas. En este arículo voy a hablar de su aplicación al procesado de imágenes, pero antes recordaré un par de conceptos básicos sobre los números p-ádicos.

El punto de partida son los números racionales. En ellos podemos definir varias métricas, es decir, varias maneras de medir distancias. Una forma de hacer esto es a través de una norma. Por ejemplo, la conocida norma euclídea, el valor absoluto: N(r):=|r|. Es fácil probar que esto es en efecto una norma. Pero podemos definir esta otra: Fijado un primo p, para un entero n, definimos ord_p(n): como el exponente de p en la factorización de n, definición que se extiende obviamente a los racionales. Pues bien, la norma p-adica es N_p(r):=p^{-ord_p(r)}. No es demasiado complicado probar la desigualdad triangular y el resto de propiedades son triviales de probar. De hecho, todas las normas sobre los racionales son esencialmente la euclídea, las p-ádicas o la trivial N_0(0)=0, N_0(r)=1 si r\neq 0. Este resultado -no trivial- es el teorema de Ostrowski.

Recordemos que el cálculo diferencial pivota en torno al concepto de límite y continuidad, que depende en última instancia de la distancia inducida por la norma euclídea. En concreto, se pueden definir los números reales como “aquellos entes” a los que las sucesiones de números racionales pretenden converger. Dicho más técnicamente, es el cierre de Banach de los racionales respecto de la norma euclídea. Y no hay inconveniente en hacer el mismo cierre con respecto a la norma p-ádica. El resultado es \mathbb{Q}_p, los números p-ádicos. Por ejemplo, la sucesión de racionales 1+p+p^2+...+p^n ni de lejos converge en norma euclídea, pero sí en norma p-adica. Dado que al igual que \mathbb{R}, \mathbb{Q}_p no es algebraicamente cerrado, es posible aún añadirle todas las raíces de polinomios a coeficientes en \mathbb{Q}_p y obtener otro cuerpo, que resulta de nuevo no ser completo: hay sucesiones que deberían converger y no lo hacen. Por lo que de nuevo podemos completarlo obteniendo, ahora sí un cuerpo algebraicamente cerrado y completo: \mathbb{C}_p. La norma p-ádica se extiende de manera natural (esto es, por continuidad).

El cálculo asociado a la métrica p-ádica es una divertida psicodelia para quienes están acostumbrados a tratar con el cálculo clásico. Por ejemplo, una serie es convergente en esta norma si y sólamente si, es de Cauchy (es decir, una serie converge si y solamente sí pretende converger). Toma ya.

Pero sin duda lo más chocante del reino p-ádico es el carácter ultramétrico: para todos a,b\in\mathbb{C}_p se tiene que N_p(a+b)\leq min \{N_p(a),N_p(b)\}. Esta propiedad hace, por ejemplo, que todos los triángulos en el plano p-ádico sean isósceles. Más relevante respecto a lo que a continuación se expondrá es la relación que hay entre los discos. Definimos el disco D(a,r)=\{z\in\mathbb{C}_p: N_p(z-a)<p\}. Pues bien, es fácil probar que cualesquiera dos de estos discos, o bien son disjuntos, o uno está contenido en el otro. Este fenómeno induce un orden parcial sobre los discos de \mathbb{C}_p, por así decirlo, una jerarquía. Se trata de un grafo dirigido  donde los vértices son los discos y hay un arco entre un disco y otro si el primero está contenido en el segundo. Además, usando la propiedad ultramétrica se puede ver que de cada vértice parten p+1 arcos. Este grafo se denomina árbol de Bruhat-Tits. Existe además una dualidad que permite interpretar los discos como números p-ádicos y los vértices como reducciones módulo potencias de p

Recientemente he estado leyendo unas aplicaciones del análisis p-ádico en una nueva revista (p-adic numbers, ultrametric analysis and applications) que me han parecido muy interesantes. Se trata de utilizar los números p-ádicos, como dije al principio, para construír códigos. Y dos de las principales aplicaciones de esos códigos, según se describe en varios artículos, son por un lado una codificación eficiente del ADN y por otro, el procesado de imágenes digitales.

El primer punto se presenta en un trabajo de Dragovich y Dragovich y aparte de la propuesta de un código bastante natural, contiene una buena dosis de análisis funcional p-ádico y muchas preguntas fenomenológicas. Quizá algún genetólogo recoja el guante y proponga algo interesante para su disciplina, pero por el momento lo que hay -en estas fuentes- es bien poco.

Sobre el procesado de imágenes la cosa es bien distinta. En concreto, en  este artículo , se plantea el problema de la segmentación de una imagen (esto es, división en secuencias de menor resolución y de más fácil tratamiento) y de la reconstrucción de la imagen inicial.

La idea es la siguiente: si interpretamos una imagen digital como una división de un cuadrado a través de un mallado perpendicular en N\times N subcuadrados y asignamos a cada subcuadrado una enumeración de 0 a N^2. podemos codificar una imagen asignando a cada pixel que la conforma un valor entre 0 y p-1 y cero al resto de píxeles del mallado. Yendo en zig-zag de la esquina inferior derecha a la superior izquierda recorremos todos los subcuadrados y vamos sumando el valor del pixel multiplicado por p^i donde i es el orden del pixel. Podremos de este modo asignar a cada imagen un entero comprendido entre 0 y (p-1)(1+p+p^2+...+p^{N^2}). Una imagen de mayor resolución requerirá pues un tamño mayor del mallado.

 Heurísticamente, la imagen real es la división del cuadrado en infinitos subcuadrados de área dx, que va a ser aproximada por una discretización como la anteriormente expuesta para un valor de N suficientemente grande. Así cada imagen digital será discretizada y esta discretización codificada a través de un número entero.

Uno de los puntos clave de esta aproximación es que existen algoritmos muy rápidos de aritmética p-ádica (por ejemplo mirar este link), muchos de ellos más rápidos que los usuales en aritmética modular, y así, podemos interpretear operaciones como “voltear una imagen” como aplicar una afinidad (es decir, aplicación geométrica que conserva paralelismo) al número p-ádico asociado a la imagen, “comprimirla” como ampliar el mallado y repetir dígitos, etc.

Pero lo que se presenta en el artículo, es la aproximación de la imagen real por la imagen discretizada, o por varias imágenes discretizadas que constituyen una segmentación de la primera: Cuando esta es demasiado pesada se parte en sub-imágenes que pueden ser integradas recuperando la discretización inicial. En concreto, se expone una aproximación a este problema a partir de la integración p-ádica. No obstante, los cálculos no son explícitos, así que hacerlos tal e inmplementarlos podría contituír una interesante herramienta para el procesado de imágenes y señales.

Por último, un par de palabras sobre la revista en cuestión: Trata de una nueva publicación rusa que Springer ha asumido hace dos años. En ella se exponen artículos sobre aplicaciones del análisis p-ádico a diversas ramas. Muchos de ellos son bastante curiosos: hay modelos, por ejemplo, de neurociencias utilizando el análisis p-ádico. No en vano, el árbol de Bruhat-Tits es un tipo de lo que se denomina “dendrograma p-ádico”, cuyo dibujo recuerda bastante al circuito neuronal. El equipo editorial es gente seria, reuniendo a teóricos de números como Peter Schneider, reconocidos p-adistas de la escuela de Schikhoff como Jesús Araujo o físicos-matemáticos como Matilde Marcolli. Una buena revista en la que debutar, sin duda.

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Function fields

 No time for NT news for the moment. Maybe tomorrow, maybe not. New Year has brought to me lots of things to do: students that complain for grades (and what is worse, they are right!), some ideas to develope on my new ph.D. , lots of Mathematica Calculations and an exam of Stochastic Calculus. Fortunately, tomorrow is time for my bass. Well, checking the arxiv today, I have happily discovered that prof. Douglas Ulmer has uploaded his notes of the course given at Park City Mathematics Institute on elliptic curves over function fields. This is an interesting topic, as all the topics explained at PCMI that year. Roughly speaking, this major area of NT studies curves which are defined over the function field of a curve \mathcal{C}. A typical (and the easiest) case is when \mathcal{C}=P^1(\mathbb{F}_q) with q=p^n. Here the function field is \mathbb{F}_q(t). A curve over this field can be seen as a surface and the points are divisors of the associated surface. This change of point of view brings out a very interesting interplay. An elliptic curve over a function field is a smooth curve of genus 1 with a distinguished point defined over this field. As an easy corollary of Riemann-Roch, it admits a Weierstrass equation. For instance, an elliptic curve over \mathbb{F}_q(t) would be y^2=tx^3+x-t^2. In this setting we also have a Mordell-Weil theorem, well, properly speaking, a Mordell-Weil-Neron-Lang theorem. The point is that one can define, in an analogous way to the number field case, an L function: L_E(s)=\prod_x(1-a_x q^{-sdeg(x)}+q^{-2sdeg(x)}). Here x runs across the places of the function field, that is to say, the prime ideals of the discrete valuation ring of which the function field is the quotient field, and deg(x) stands for the residual degree \left[k_x : \mathbb{F}_q(t)\right]. The a_x are defined in an analogous way as in the number field setting, i.e., counting points and the distinction between bad and good reduction primes is also done here. And as you can guess, a BSD conjecture is also proposed for E. But fortunately for these curves, it is semi-true!. It happens that for any elliptic curve E/\mathbb{F}_q(t), ord _{s=1}L_E(s)\geq rk E. And a lot more of results are known in this case, a number of which have been studied and worked out by prof Ulmer. For instance, it is known that the validity of BSD in these case is equivalent to the finiteness of the Shafarevich group. It is also known that if K is an extension of the function field K, if BSD holds for K', then it also holds for K. The style of the notes is really clear, as it were the lectures. I followed them and I really enjoyed. It would be great to see also uploaded the notes on root numbers of prof. Rohrlich as well as Tate´s lectures. What happy memories!

The notes of the lectures: http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1101/1101.1939v1.pdf

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NT News. 12/31/2010

This is brief a sum-up of what is going on at NTarxiv during this week:

A NEW FAMILY OF ELLIPTIC CURVES WITH POSITIVE RANK ARISING FROM PYTHAGOREAN TRIPLES( F.A.Izadi, K.Nabardi, F.Khoshnam). http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1012/1012.5837v1.pdf

This is a nice paper on elliptic curves at an introductory level. The authors associate to any Pythagorean triple (a,b,c) the elliptic curve y^2=x(x-a^2)(x-b^2). By a direct application of Nagel Lutz Theorem they prove that the rank is positive. It would be interesting to check that the order of vanishing of the L-function at 1 is positive. 

ON THE SUMS OF TWO CUBES (B. Reznick, J. Rouse) http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1012/1012.5801v1.pdf

In this paper, the authors solve the equation f^2(x,y)+g^(x,y)=x^3+y^3 where f,g are homogeneous complex rational functions in x,y. This is a generalization of a problem of Viete: “Given two cubes, to find numerically two other cubes the sum of which is equal to the difference between those that are given.”

THE BLOCH-KATO CONJECTURE AND GALOIS THEORY (D. Karagueuzian, J. Labute, J. Minavc) http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1012/1012.5631v1.pdf

 For a field F which contains a primitive p-th root of unity, denoting F(p) the maximal p-extension of F,the authors study the structure of the group Gal(F(p)/F). They find conditions on the generating relations of the Galois group in terms of the weight, i.e. the grade of the associated filtration: h_n:K_nF/pK_nF\to H^n(F), where K_nF is the group generated by n-tuples of elements of F^* under the Steinberg relation and component-wise multiplication. They interprete these results in terms of the Bloch-Kato conjecture. I have to point out that it is encouraging how Prof. Labute keeps active three years after his retirement. A good example for young researchers, indeed.

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Debutando en teoría de números

Hay diversos motivos por los que un estudiante de los primeros cursos de la licenciatura (o grado) en Matemáticas se suele matricular en el curso de Aritmética o Teoría Elemental de números. Uno bien conocido es porque suele correr el rumor de que se trata de un “maría”. No discutiremos aquí sobre si es o no un motivo respetable… Sin embargo, al acabar la asignatura la impresión suele ser la de haber visto resultados de gran belleza, de cierta magia, por qué no. Quienes disfrutan con los acertijos de ingenio encuentran en la teoría de números un buen repertorio de retos, a veces muy gratificantes. Pero esos alumnos que desean ampliar conocimientos quizá se encuentren un poco confundidos acerca de por dónde continuar. A ellos les dedico este primer post. A ellos y a todos los que tengan interés por adentrarse en lo que Gauss denominó “La reina de las Matemáticas”.

  1. 1.       Un primer curso

La teoría elemental de números, estudia cuestiones de divisibilidad en los números naturales. Por ejemplo, un problema típico podría ser determinar el resto de dividir 187^{123213334} por 11. O calcular el resto que deja la suma de los 100 primeros factoriales al dividir por cuatro. Suelen ser cuestiones que se atacan mediante las congruencias lineales entre enteros. Y entre las herramientas que se utilizan destacan el pequeño teorema de Fermat, la congruencia de Wilson o el teorema de Euler. 

También se ven ecuaciones del tipo ax+by=c con a,b,c\in\mathbb{Z}. Este es el ejemplo más sencillo de lo que se llama ecuación diofántica (en honor del matemático Diofanto de Alejandría), que no es otra cosa que una ecuación polinomial a coeficientes enteros, o en algún anillo de enteros de un cuerpo de números. Uno de los temas estrella en el curso de aritmética es la distribución de los números primos. No faltará una prueba de la infinitud del conjunto de números primos, y de que la suma de los inversos de los primos diverge.

Sin embargo, es natural que muchas cosas se queden en el tintero, como la prueba del teorema del número primo o del postulado de Bertrand, o de los primos en sucesiones de Dirichlet.

Con todo, quizá un buen objetivo de esta asignatura sea que el alumno pueda entender enunciados propios de esta materia y contrastar la sencillez de dichos enunciados con la imposibilidad de dar una prueba con la artillería que ha adquirido. En este sentido merece destacarse el teorema del número primo, a saber que la función \pi (x), que da el número de primos menores o iguales que x se comporta asintóticamente como x/log(x). A pesar de que Paul Erdös dio una prueba “elemental” (en el sentido de que no requiere técnicas de análisis complejo, la primera prueba (y conceptualmente más simple que la de Erdös) la dieron Hadamard y de la Vallée Poisin utilizando técnicas de análisis complejo, especialmente encontrando una región en que la función zeta de Riemann carece de ceros.

Otros resultados como la infinitud de los números de Carmichael (un número compuesto que satisface la congruencia de Fermat para cualquier base) también requieren técnicas de análisis real y complejo. Pero quizá entre los resultados que más llamen la atención al alumno interesado sean la conjetura de Goldbach o el “último teorema de Fermat”. La conjetura de Goldbach (aún por resolver) afirma que todo número par mayor o igual que cuatro se expresa como suma de dos primos, y a pesar de que se han producido notables avances (que requieren fuertes dosis de análisis complejo), a lo más que se ha llegado es a que existe una cota tal que los números pares mayores que esta se expresan como suma de dos primos o de un primo y el producto de dos, así como a resultados de naturaleza probabilística. Un excelente libro de texto sobre teoría elemental de números es “Elementary Number Theory. Burton, D. Prentice Hall.”

  1. 2.       Hay quien quiere más.

El “último teorema de Fermat”, afirmaba que para n\geq 3 la ecuación x^n+y^n=z^n sólo tiene solución entera trivial. Los alumnos de primero (determinados alumnos) suelen saber que este teorema está relacionado con lo que han oído llamar “la conjetura de Taniyama-Shimura” y lo asocian al nombre de Wiles. No está mal (en efecto, la certeza de la conjetura de Taniyama-Shimura implica este teorema (Frey) y la prueba de esta conjetura se dio definitivamente en 1995, gracias a Wiles, Breuil, Conrad y Diamond).

Hay alumnos que piden referencias sobre estos hechos. Este cuatrimestre he tenido dos. Y qué les podía decir… Supongo que lo más acertado es darles un overview de lo que necesitarán si deciden adentrarse en este sendero. Normalmente les suelo invitar a que sigan con buen pie la asignatura de estructuras algebraicas, especialmente la teoría de Galois y que se matriculen en teoría algebraica de números y un curso de curvas algebraicas o de iniciación a la geometría algebraica, para posteriormente tomar clases de álgebra conmutativa y geometría algebraica “hard”.

La teoría algebraica de números es el estudio de los cuerpos de números, es decir, extensiones de los racionales por elementos algebraicos (i.e. que satisfacen una ecuación polinomial al coeficientes enteros). Históricamente se puede defender su importancia examinando la “prueba” de Kummer del último teorema de Fermat. Antes quizá, mencionar que la filosofía de esta herramienta es la de “salirse” de los enteros a un anillo dónde sea más fácil operar la ecuación de turno y traducir los resultados en el anillo a resultados en los enteros.

Por ejemplo, para determinar las soluciones de la ecuación pitagórica x^2+y^2=z^2 uno puede factorizar (x-z)(x+z)=y^2 y resolver la ecuación en el anillo \mathbb{Z}[i], que al ser un dominio de ideales principales permite concluír que tanto  x-z como x+z están asociados a un cuadrado en este anillo (por supuesto, hay que argumentar que estos elementos son coprimos). La sencillez del grupo de unidades permite volver a la ecuación pitagórica.

La ecuación de Fermat x^p-z^p=y^p con p primo, es caso aparte. Podemos factorizar, siguiendo a Kummer, el lado izquierdo de la igualdad en el cuerpo extensión de \mathbb{Q} por las raíces p-ésimas de la unidad e intentar un argumento similar al anterior. El caso es que a un buen estudiante de estructuras algebraicas no se le escapa que “los” enteros de este anillo no forman dominio de ideales principales y este es en esencia el error de Kummer.

Así que si este alumno quisiera saber más, se le tendía que decir que Frey asoció a esta curva una curva elíptica (es decir el lugar geométrico del plano de un polinomio de grado 3 sin singularidades), de la que prueba que tiene una característica “especial”, a saber: no es modular.

Pero esto requiere mucha más maquinaria y no es aconsejable ponerle los dientes largos al alumno antes de tiempo. En general  en un curso de teoría algebraica de números se estudian muchos casos de ecuaciones diofánticas, de las que se pide estudiar su conjunto de soluciones. El procedimiento es esencialmente el indicado arriba: factorizar y tener suerte de que el anillo asociado a la ecuación sea un dominio de ideales principales. Si no lo es no está todo perdido, ni mucho menos. O eso dicen.

Los anillos que salen al intentar resolver estas ecuaciones son dominios de Dedekind, en los que vale, no podremos factorizar de forma única los elementos, pero sí los ideales: todo ideal se descompone de manera única y salvo el orden en producto de ideales primos.

En estos anillos, existe el concepto de número de clases de ideales, que mide la obstrucción a que el anillo sea dominio de ideales principales (o equivalentemente, en dominios de Dedekind, de factorización única). Manejando adecuadamente potencias de los ideales y la estructura del grupo de unidades, aún podemos estudiar las soluciones de ecuaciones diofánticas.

El estudio de las formas cuadráticas a coeficientes en un cuerpo también se suele cubrir en esta asignatura. Es decir, la solución de las ecuaciones de la forma \sum_{i=1}^n a_i x_i^2=0 donde a_i\in\mathbb{Z}, o el anillo de enteros de un cuerpo de números. Como se ve, esto es un paso adelante en el estudio de las ecuaciones diofánticas.

En concreto, un tema típico es la clasificación de las formas cuadráticas racionales y el principio de Hasse- Minkowski. Este principio establece la equivalencia de la existencia de soluciones racionales con la existencia de soluciones en todas las compleciones de los racionales, lo que de forma natural requiere introducir los números p-ádicos.

Un buen manual para esta asignatura podrían ser “A classical introduction to modern number theory”, de Ireland y Rossen. Y para cubrir los requisitos de teoría de Galois “Galois Theory” de Ian Stewart.

  1. 3.       El postulante se hace novicio.

Lo más razonable es que si no le han desanimado a uno los cuerpos de números y las formas cuadráticas,  el estudiante interesado prosiga su andadura, ya a nivel de postgrado, con un curso de curvas elípticas. Como se ha dicho antes, una curva elíptica sobre un cuerpo K es un par (E,O) donde E es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican una ecuación de grado 3 a coeficientes en el cuerpo K y O es un punto de la curva con coordenadas en ese cuerpo. Cabe una definición más intrínseca, esto es, sin aludir a ecuaciones, diciendo que E es una curva proyectiva lisa de género 1, es decir un toro con un asa. Ambas definiciones son equivalentes. Cuando el cuerpo tiene característica dsitinta de 2 y de tres, podremos encontrar una ecuación de la forma y^2=x^3+Ax+B.

El interés de las curvas elípticas radica por una parte en que suponen el caso más sencillo de ecuación diofántica de grado mayor que dos y por otro, su aplicación a la prueba del teorema de Fermat o, en el caso de que el cuerpo de definición sea de característica positiva, a la criptografía. La dificultad algorítmica de resolver el problema del logaritmo discreto garantiza que la codificación con curvas elípticas es, casi siempre, segura.

Hay múltiples cuestiones abiertas en torno a las curvas elípticas, quizá la más destacable sea la conjetura de Birch y Swinnerton –Dyer, otro de los problemas del milenio. Una curva elíptica racional admite una estructura de grupo: Dados dos puntos P,Q\in E, trazamos la recta que pasa por ellos, que intersecará a la curva en un tercero, en virtud del teorema de Bezout. Consideramos ahora la recta que pasa por el tercer punto y O y ese es por definición el punto P+Q. Por supuesto es preciso probar que esto es una ley de grupo con elemento neutro O. Bien, el teorema de Mordel establece que ese grupo es finitamente generado: es decir, todos los puntos racionales se generan mediante esta ley en una cantidad finita de pasos a través de una cantidad finita de r puntos. Hay además, una cantidad finita de puntos de torsión, es decir, puntos que al sumarlos consigo mismo una cantidad finita de veces dan el neutro O.

Mientras que la estructura del grupo de torsión es relativamente sencilla (teoremas de Lutz-Nagel, y Mazur), el cómputo de rango es a día de hoy una incógnita. Se puede asociar una función definida en cierto semiplano complejo asociada a la curva E: su función L. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer establece que dicha función se extiende a todo el plano complejo y su orden de anulación en el 1 coincide con el rango. A día de hoy, al margen de la gran información experimental de que se dispone en sentido positivo a favor de esta conjetura, sólo está probada para curvas de rango 0 (Wiles-Coates) y rango 1 (Gross-Zagier-Kolivagyn).

Creo que el texto más completo sobre curvas elípticas es la enciclopédica  “The arithmetic of elliptic curves” y “advanced topics on the arithmetic of elliptic curves”, ambas de SIlvermann, Springer GTM.

La extensión a todo el plano de la función L es consecuencia del teorema de modularidad de Wiles, aquél que dijimos al principio que implicaba la veracidad del último teorema de Fermat.

Entender bien no ya la prueba, sino el enunciado preciso del teorema entraña un estudio de las formas modulares, que será el siguiente paso que nuestro estudiante ha de dar. Una curva modular es el cociente del semiplano superior por la acción de un grupo de congruencia, que es un determinado subgrupo de \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}). En el enunciado del teorema de Wiles, los grupos que intervienen son los \Gamma_0(N), de matrices enteras de determinante 1 cuya entrada inferior izquierda es divisible por N. Topológicamente, una curva modular tiene cierto género –número de asas- relacionado de una forma muy precisa con N.

Las funciones modulares son funciones definidas en el semiplano que quedan invariantes por la acción del grupo modular, y las diferenciales de la forma modular, son lo que se llaman formas modulares de peso 2. Más en general, una forma modular de peso k es una función del semiplano superior tal que para todo \left(\begin{array}{cc}a & b\\c & d\end{array}\right)\in\Gamma_0(N), f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right)=(cz+d)^kf(z). El estudio de los espacios de formas modulares permiten resolver diversas cuestiones directamente relacionadas con las ecuaciones diofánticas, como el problema de los cuatro cuatrados. El espacio vectorial de formas modulares de peso k tiene dimensión finita, un resultado consecuencia del teorema de Riemann Roch, y esta es efectivamente computable en función de ciertos invariantes geométricos de la curva modular, como consecuencia de la fórmula de Riemann- Hurwitz.

El que una curva elíptica sea modular, una de las cosas que quiere decir es que exista una aplicación dada por polinomios desde una curva modular a la curva elíptica.

Recomendaría como texto introductorio a las formas modulares el libro “A first course in modular forms”, de Diamond y Shurmann, Springer GTM.

El horizonte que se abre aquí es vastísimo. Citemos por un lado la producción de puntos algebraicos de la curva elíptica, es decir, la solución de la ecuación diofántica. Una vía de ataque es el mapeo de puntos de Heegner (es decir puntos es la curva modular con un representante cuadrático) a la curva elíptica. Este problema involucra un segundo curso de teoría algebraica de números a nivel de post grado: la teoría de cuerpos de clases.

Por otro lado, cabe generalizar el tipo de grupos que operan sobre el semiplano superior a lo que se denominan grupos artiméticos Fuchsianos. La curva modular es ahora un ejemplo de lo que se llama curva de Shimura, y las funciones modulares pasan a llamarse funciones automorfas.

El grup de Teoría de Nombres de la Universitat de Barcelona trabaja, entre otras cosas en determinar explícitamente formas y funciones automorfas en curvas de Shimuar, así como en encontrar sus ecuaciones.

Colateralmente a todo esto, y más allá, emergen diversos tópicos de gran importancia, como la teoría de representaciones de Galois, la aritmética de cuerpos de funciones, o la geometría aritmética en género superior. El campo es amplio, y creo que los estrechos márgenes del presente post no son suficientes a contenerlos.

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