Hay diversos motivos por los que un estudiante de los primeros cursos de la licenciatura (o grado) en Matemáticas se suele matricular en el curso de Aritmética o Teoría Elemental de números. Uno bien conocido es porque suele correr el rumor de que se trata de un “maría”. No discutiremos aquí sobre si es o no un motivo respetable… Sin embargo, al acabar la asignatura la impresión suele ser la de haber visto resultados de gran belleza, de cierta magia, por qué no. Quienes disfrutan con los acertijos de ingenio encuentran en la teoría de números un buen repertorio de retos, a veces muy gratificantes. Pero esos alumnos que desean ampliar conocimientos quizá se encuentren un poco confundidos acerca de por dónde continuar. A ellos les dedico este primer post. A ellos y a todos los que tengan interés por adentrarse en lo que Gauss denominó “La reina de las Matemáticas”.
- 1. Un primer curso
La teoría elemental de números, estudia cuestiones de divisibilidad en los números naturales. Por ejemplo, un problema típico podría ser determinar el resto de dividir por 11. O calcular el resto que deja la suma de los 100 primeros factoriales al dividir por cuatro. Suelen ser cuestiones que se atacan mediante las congruencias lineales entre enteros. Y entre las herramientas que se utilizan destacan el pequeño teorema de Fermat, la congruencia de Wilson o el teorema de Euler.
También se ven ecuaciones del tipo con . Este es el ejemplo más sencillo de lo que se llama ecuación diofántica (en honor del matemático Diofanto de Alejandría), que no es otra cosa que una ecuación polinomial a coeficientes enteros, o en algún anillo de enteros de un cuerpo de números. Uno de los temas estrella en el curso de aritmética es la distribución de los números primos. No faltará una prueba de la infinitud del conjunto de números primos, y de que la suma de los inversos de los primos diverge.
Sin embargo, es natural que muchas cosas se queden en el tintero, como la prueba del teorema del número primo o del postulado de Bertrand, o de los primos en sucesiones de Dirichlet.
Con todo, quizá un buen objetivo de esta asignatura sea que el alumno pueda entender enunciados propios de esta materia y contrastar la sencillez de dichos enunciados con la imposibilidad de dar una prueba con la artillería que ha adquirido. En este sentido merece destacarse el teorema del número primo, a saber que la función , que da el número de primos menores o iguales que se comporta asintóticamente como . A pesar de que Paul Erdös dio una prueba “elemental” (en el sentido de que no requiere técnicas de análisis complejo, la primera prueba (y conceptualmente más simple que la de Erdös) la dieron Hadamard y de la Vallée Poisin utilizando técnicas de análisis complejo, especialmente encontrando una región en que la función zeta de Riemann carece de ceros.
Otros resultados como la infinitud de los números de Carmichael (un número compuesto que satisface la congruencia de Fermat para cualquier base) también requieren técnicas de análisis real y complejo. Pero quizá entre los resultados que más llamen la atención al alumno interesado sean la conjetura de Goldbach o el “último teorema de Fermat”. La conjetura de Goldbach (aún por resolver) afirma que todo número par mayor o igual que cuatro se expresa como suma de dos primos, y a pesar de que se han producido notables avances (que requieren fuertes dosis de análisis complejo), a lo más que se ha llegado es a que existe una cota tal que los números pares mayores que esta se expresan como suma de dos primos o de un primo y el producto de dos, así como a resultados de naturaleza probabilística. Un excelente libro de texto sobre teoría elemental de números es “Elementary Number Theory. Burton, D. Prentice Hall.”
- 2. Hay quien quiere más.
El “último teorema de Fermat”, afirmaba que para la ecuación sólo tiene solución entera trivial. Los alumnos de primero (determinados alumnos) suelen saber que este teorema está relacionado con lo que han oído llamar “la conjetura de Taniyama-Shimura” y lo asocian al nombre de Wiles. No está mal (en efecto, la certeza de la conjetura de Taniyama-Shimura implica este teorema (Frey) y la prueba de esta conjetura se dio definitivamente en 1995, gracias a Wiles, Breuil, Conrad y Diamond).
Hay alumnos que piden referencias sobre estos hechos. Este cuatrimestre he tenido dos. Y qué les podía decir… Supongo que lo más acertado es darles un overview de lo que necesitarán si deciden adentrarse en este sendero. Normalmente les suelo invitar a que sigan con buen pie la asignatura de estructuras algebraicas, especialmente la teoría de Galois y que se matriculen en teoría algebraica de números y un curso de curvas algebraicas o de iniciación a la geometría algebraica, para posteriormente tomar clases de álgebra conmutativa y geometría algebraica “hard”.
La teoría algebraica de números es el estudio de los cuerpos de números, es decir, extensiones de los racionales por elementos algebraicos (i.e. que satisfacen una ecuación polinomial al coeficientes enteros). Históricamente se puede defender su importancia examinando la “prueba” de Kummer del último teorema de Fermat. Antes quizá, mencionar que la filosofía de esta herramienta es la de “salirse” de los enteros a un anillo dónde sea más fácil operar la ecuación de turno y traducir los resultados en el anillo a resultados en los enteros.
Por ejemplo, para determinar las soluciones de la ecuación pitagórica uno puede factorizar y resolver la ecuación en el anillo , que al ser un dominio de ideales principales permite concluír que tanto como están asociados a un cuadrado en este anillo (por supuesto, hay que argumentar que estos elementos son coprimos). La sencillez del grupo de unidades permite volver a la ecuación pitagórica.
La ecuación de Fermat con primo, es caso aparte. Podemos factorizar, siguiendo a Kummer, el lado izquierdo de la igualdad en el cuerpo extensión de por las raíces -ésimas de la unidad e intentar un argumento similar al anterior. El caso es que a un buen estudiante de estructuras algebraicas no se le escapa que “los” enteros de este anillo no forman dominio de ideales principales y este es en esencia el error de Kummer.
Así que si este alumno quisiera saber más, se le tendía que decir que Frey asoció a esta curva una curva elíptica (es decir el lugar geométrico del plano de un polinomio de grado 3 sin singularidades), de la que prueba que tiene una característica “especial”, a saber: no es modular.
Pero esto requiere mucha más maquinaria y no es aconsejable ponerle los dientes largos al alumno antes de tiempo. En general en un curso de teoría algebraica de números se estudian muchos casos de ecuaciones diofánticas, de las que se pide estudiar su conjunto de soluciones. El procedimiento es esencialmente el indicado arriba: factorizar y tener suerte de que el anillo asociado a la ecuación sea un dominio de ideales principales. Si no lo es no está todo perdido, ni mucho menos. O eso dicen.
Los anillos que salen al intentar resolver estas ecuaciones son dominios de Dedekind, en los que vale, no podremos factorizar de forma única los elementos, pero sí los ideales: todo ideal se descompone de manera única y salvo el orden en producto de ideales primos.
En estos anillos, existe el concepto de número de clases de ideales, que mide la obstrucción a que el anillo sea dominio de ideales principales (o equivalentemente, en dominios de Dedekind, de factorización única). Manejando adecuadamente potencias de los ideales y la estructura del grupo de unidades, aún podemos estudiar las soluciones de ecuaciones diofánticas.
El estudio de las formas cuadráticas a coeficientes en un cuerpo también se suele cubrir en esta asignatura. Es decir, la solución de las ecuaciones de la forma donde , o el anillo de enteros de un cuerpo de números. Como se ve, esto es un paso adelante en el estudio de las ecuaciones diofánticas.
En concreto, un tema típico es la clasificación de las formas cuadráticas racionales y el principio de Hasse- Minkowski. Este principio establece la equivalencia de la existencia de soluciones racionales con la existencia de soluciones en todas las compleciones de los racionales, lo que de forma natural requiere introducir los números p-ádicos.
Un buen manual para esta asignatura podrían ser “A classical introduction to modern number theory”, de Ireland y Rossen. Y para cubrir los requisitos de teoría de Galois “Galois Theory” de Ian Stewart.
- 3. El postulante se hace novicio.
Lo más razonable es que si no le han desanimado a uno los cuerpos de números y las formas cuadráticas, el estudiante interesado prosiga su andadura, ya a nivel de postgrado, con un curso de curvas elípticas. Como se ha dicho antes, una curva elíptica sobre un cuerpo es un par donde es el lugar geométrico de los puntos del plano que verifican una ecuación de grado 3 a coeficientes en el cuerpo y es un punto de la curva con coordenadas en ese cuerpo. Cabe una definición más intrínseca, esto es, sin aludir a ecuaciones, diciendo que es una curva proyectiva lisa de género 1, es decir un toro con un asa. Ambas definiciones son equivalentes. Cuando el cuerpo tiene característica dsitinta de 2 y de tres, podremos encontrar una ecuación de la forma
El interés de las curvas elípticas radica por una parte en que suponen el caso más sencillo de ecuación diofántica de grado mayor que dos y por otro, su aplicación a la prueba del teorema de Fermat o, en el caso de que el cuerpo de definición sea de característica positiva, a la criptografía. La dificultad algorítmica de resolver el problema del logaritmo discreto garantiza que la codificación con curvas elípticas es, casi siempre, segura.
Hay múltiples cuestiones abiertas en torno a las curvas elípticas, quizá la más destacable sea la conjetura de Birch y Swinnerton –Dyer, otro de los problemas del milenio. Una curva elíptica racional admite una estructura de grupo: Dados dos puntos , trazamos la recta que pasa por ellos, que intersecará a la curva en un tercero, en virtud del teorema de Bezout. Consideramos ahora la recta que pasa por el tercer punto y y ese es por definición el punto . Por supuesto es preciso probar que esto es una ley de grupo con elemento neutro . Bien, el teorema de Mordel establece que ese grupo es finitamente generado: es decir, todos los puntos racionales se generan mediante esta ley en una cantidad finita de pasos a través de una cantidad finita de puntos. Hay además, una cantidad finita de puntos de torsión, es decir, puntos que al sumarlos consigo mismo una cantidad finita de veces dan el neutro .
Mientras que la estructura del grupo de torsión es relativamente sencilla (teoremas de Lutz-Nagel, y Mazur), el cómputo de rango es a día de hoy una incógnita. Se puede asociar una función definida en cierto semiplano complejo asociada a la curva : su función . La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer establece que dicha función se extiende a todo el plano complejo y su orden de anulación en el 1 coincide con el rango. A día de hoy, al margen de la gran información experimental de que se dispone en sentido positivo a favor de esta conjetura, sólo está probada para curvas de rango 0 (Wiles-Coates) y rango 1 (Gross-Zagier-Kolivagyn).
Creo que el texto más completo sobre curvas elípticas es la enciclopédica “The arithmetic of elliptic curves” y “advanced topics on the arithmetic of elliptic curves”, ambas de SIlvermann, Springer GTM.
La extensión a todo el plano de la función es consecuencia del teorema de modularidad de Wiles, aquél que dijimos al principio que implicaba la veracidad del último teorema de Fermat.
Entender bien no ya la prueba, sino el enunciado preciso del teorema entraña un estudio de las formas modulares, que será el siguiente paso que nuestro estudiante ha de dar. Una curva modular es el cociente del semiplano superior por la acción de un grupo de congruencia, que es un determinado subgrupo de . En el enunciado del teorema de Wiles, los grupos que intervienen son los , de matrices enteras de determinante 1 cuya entrada inferior izquierda es divisible por . Topológicamente, una curva modular tiene cierto género –número de asas- relacionado de una forma muy precisa con .
Las funciones modulares son funciones definidas en el semiplano que quedan invariantes por la acción del grupo modular, y las diferenciales de la forma modular, son lo que se llaman formas modulares de peso 2. Más en general, una forma modular de peso k es una función del semiplano superior tal que para todo , . El estudio de los espacios de formas modulares permiten resolver diversas cuestiones directamente relacionadas con las ecuaciones diofánticas, como el problema de los cuatro cuatrados. El espacio vectorial de formas modulares de peso k tiene dimensión finita, un resultado consecuencia del teorema de Riemann Roch, y esta es efectivamente computable en función de ciertos invariantes geométricos de la curva modular, como consecuencia de la fórmula de Riemann- Hurwitz.
El que una curva elíptica sea modular, una de las cosas que quiere decir es que exista una aplicación dada por polinomios desde una curva modular a la curva elíptica.
Recomendaría como texto introductorio a las formas modulares el libro “A first course in modular forms”, de Diamond y Shurmann, Springer GTM.
El horizonte que se abre aquí es vastísimo. Citemos por un lado la producción de puntos algebraicos de la curva elíptica, es decir, la solución de la ecuación diofántica. Una vía de ataque es el mapeo de puntos de Heegner (es decir puntos es la curva modular con un representante cuadrático) a la curva elíptica. Este problema involucra un segundo curso de teoría algebraica de números a nivel de post grado: la teoría de cuerpos de clases.
Por otro lado, cabe generalizar el tipo de grupos que operan sobre el semiplano superior a lo que se denominan grupos artiméticos Fuchsianos. La curva modular es ahora un ejemplo de lo que se llama curva de Shimura, y las funciones modulares pasan a llamarse funciones automorfas.
El grup de Teoría de Nombres de la Universitat de Barcelona trabaja, entre otras cosas en determinar explícitamente formas y funciones automorfas en curvas de Shimuar, así como en encontrar sus ecuaciones.
Colateralmente a todo esto, y más allá, emergen diversos tópicos de gran importancia, como la teoría de representaciones de Galois, la aritmética de cuerpos de funciones, o la geometría aritmética en género superior. El campo es amplio, y creo que los estrechos márgenes del presente post no son suficientes a contenerlos.